逆運動学 で制御 ーロボットアーム自作への道2ー
お父ちゃん
2019.12.9
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さて今回は前回作ったロボットアームを本格的に動かしていきたいと思います。
以下の書籍で逆運動学なるものを知りましたので、その逆運動学でロボットアームを制御します。
ここではアームにペンをつけて文字を書かせてみます。
目次
逆運動学とは
前回は各サーボモータの角度を指定して、ロボットアームの姿勢を制御していました。つまり各サーボの角度でアーム先端の座標(x, y, z)が決まります。これを順運動学(Forward Kinematics)といいます。
逆運動学(Inverse Kinematics)とは、まさに逆でロボットアーム先端の座標(x, y, z)を指定して、各サーボの角度を算出する手法です。IKなどと言われているようです。
逆運動学によるサーボ角度算出
前回作ったロボットアームにマジックペンをつけて、ペン先の座標を指定して文字を書くことを目指します。
各アームの長さは以下の通りです。
$L_1 = 92$ mm
$L_2 = 137$ mm
$L_3 = 165$ mm
それでは算出していきましょう！
座標は以下のように平面上を(x, y)、高さをzとします。
首振りサーボの角度$θ_1$は平面座標(x, y)ですぐ導出できます。
$$θ_1 =\tan^{-1} \left(\frac{y}{x} \right)$$
2個目のサーボの角度$θ_2$は余弦定理を用いて導出します。
${L_3}^2 = {L_2}^2 + {l_d}^2 – 2{L_2}{l_d}\cos{θ_2}’$
${θ_2}’ = \cos^{-1} \left(\frac{{L_2}^2+{l_d}^2 – {L_3}^2}{2{L_2}{l_d}} \right)$
$$θ_2 = {θ_2}’ + φ = \cos^{-1} \left(\frac{{L_2}^2+{l_d}^2 – {L_3}^2}{2{L_2}{l_d}} \right) + φ$$
$$ 但し、φ = \tan^{-1} \left(\frac{z – L_1}{l} \right)$$
$$ l_d = \sqrt{l^2 + \left(z – L_1\right)^2}$$
$$ l = \sqrt{x^2 + y^2}$$
3個目のサーボの角度$θ_3$も余弦定理を用いて導出します。
${l_d}^2 = {L_2}^2 + {L_3}^2 – 2{L_2}{L_3}\cos \left(90°+ θ_3\right)= {L_2}^2 + {L_3}^2 + 2{L_2}{L_3}\sin {θ_3}$
$$θ_3 = \sin^{-1} \left(\frac{{l_d}^2-{L_2}^2 – {L_3}^2}{2{L_2}{L_3}} \right)$$
以上のとおり、所望の座標(x, y, z)とロボットアームの長さ$L_1$、$L_2$、$L_3$からサーボの角度を導出することができました。
参考
動作
逆運動学によって座標の指定のみでロボットアームの制御ができるようになったので以下のように線がひけます。
逆運動学を堪能
本当に座標通りに動いて ちょっと引いてるくらい#ロボットアーム pic.twitter.com/2wZIRCAtfR
— HomeMadeGarbage (@H0meMadeGarbage) December 7, 2019
Arduinoコード
冒頭に紹介した書籍の第5章サンプルコードを参考にプログラミングしました。
以下でArduinoサンプルコードをダウンロードできます。ありがたい！
https://www.ohmsha.co.jp/book/9784274222115/
求めた逆運動学の式を用いてロボットアーム先端の座標を制御します。
シリアルモニタで打ち込んだ文字によってロボットアームの動作を選択しています。
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#include <Servo.h> Servo myservo1, myservo2, myservo3; float th1=90,th2=90,th3=90; float phi,ld,l; int pos = 0; float L1=92,L2=137,L3=165; float x,y,z; void setup() { Serial.begin(115200); myservo1.attach(9, 500, 2420); //MG995 myservo2.attach(10, 820, 2140); //DS3115 myservo3.attach(11, 820, 2140); //DS3115 set_servo(); ik(-45, 228, 10); } void loop() { char c; if ( Serial.available() > 0 ) { c = Serial.read(); if(c=='1'){ //一を書く delay(100); for(x = -60; x <= 60; x += 5){ ik(x, 210, 0); delay(100); } ik(0, 170, 230); //初期姿勢 }else if(c=='u'){ //ウを書く ik(-45, 228, 10); delay(500); ik(-45, 228, 0); delay(200); ik(-45, 220, 0); delay(200); ik(-45, 220, 10); delay(200); ik(-57, 220, 10); delay(200); ik(-57, 220, 0); delay(200); ik(-54, 210, 0); delay(200); ik(-54, 210, 10); delay(200); ik(-57, 220, 10); delay(200); ik(-57, 220, 0); delay(200); ik(-35, 220, 0); delay(200); ik(-35, 210, 0); delay(200); ik(-37, 200, 0); delay(200); ik(-42, 195, 0); delay(200); ik(-42, 195, 10); delay(200); //ンを書く ik(-15, 220, 10); delay(500); ik(-15, 220, 0); delay(200); ik(-5, 210, 0); delay(200); ik(-5, 210, 10); delay(200); ik(15, 220, 10); delay(200); ik(15, 220, 0); delay(200); ik(10, 210, 0); delay(200); ik(10, 205, 0); delay(200); ik(8, 200, 0); delay(200); ik(-2, 195, 0); delay(200); ik(-10, 195, 0); delay(200); ik(-10, 195, 10); delay(200); //コを書く ik(35, 220, 10); delay(500); ik(35, 220, 0); delay(200); ik(60, 220, 0); delay(200); ik(60, 195, 0); delay(200); ik(35, 195, 0); delay(200); ik(35, 195, 10); }else if(c=='0'){ ik(0, 170, 230); //初期姿勢 } } } void ik(float x,float y,float z){ th1=atan2(y,x); l=sqrt(x*x + y*y); ld=sqrt(l*l + (z-L1)*(z-L1)); phi=atan2((z-L1),l); th2=phi + acos((ld*ld+L2*L2-L3*L3)/(2*ld*L2)); th3=asin((ld*ld-L2*L2-L3*L3)/(2*L2*L3)); th1=th1*180/3.14; th2=th2*180/3.14; th3=th3*180/3.14; set_servo(); } void set_servo(){ myservo1.write(th1); myservo2.write(th2); myservo3.write(th3); } |
おわりに
逆運動学によって座標の指定でロボットアームを自由に動かせるようになりました。
逆運動学 完全に理解した#ロボットアーム pic.twitter.com/gVv3euULnE
— HomeMadeGarbage (@H0meMadeGarbage) December 8, 2019
さて、次は現状ちょっと可動範囲が狭いのでアームの構成の調整と
もっと手軽にアームを制御できるように工夫したいと思います。
それではまた
